レイノルズ数Reynolds number

レイノルズ数 $\mathrm{Re}$ とは、流れの慣性と粘性の相対的な強さを表す無次元数である。蜂蜜をゆっくりかき混ぜたときの滑らかな流れと、水を速く流したときの勢いの強い流れの違いを、一つの数で比較できる。

$\mathrm{Re}$ が小さいほど粘性の効果が相対的に強く、$\mathrm{Re}$ が大きいほど慣性の効果が相対的に強い。ただし、$\mathrm{Re}$ だけで流れの状態が必ず一意に決まるわけではなく、形状・入口の乱れ・壁面粗さなども影響する。

慣性は、流体が現在の運動を保とうとする効果である。速い流れ、大きな物体まわりの流れ、密度の大きい流体では、慣性の影響が大きくなりやすい。

粘性は、隣り合う流体の速度差をならす効果である。粘度 $\mu$ が大きい流体や、非常に小さなすき間の流れでは、粘性の影響が相対的に大きくなる。$\mathrm{Re}$ はこの二つを同じ尺度で比較する。

Re ≪ 1

粘性が支配的。流れは外力の変化へすばやく応答し、慣性による行き過ぎが小さい。

Re ≫ 1

流れ全体では慣性が支配的。ただし壁面近くでは、大きな $\mathrm{Re}$ でも粘性が重要である。

代表速度 $V$、代表長さ $L$、密度 $\rho$、粘度 $\mu$ を用いると、レイノルズ数は式 (1) で表される [1,3]。動粘度 $\nu=\mu/\rho$ を用いた右端の形も同じ意味である。

分子 $\rho VL$ は慣性の尺度、分母 $\mu$ は粘性の尺度である。単位を展開するとすべて打ち消し合うため、$\mathrm{Re}$ は単位をもたない無次元数である。

粘度 $\mu$ のSI単位は $\mathrm{Pa{\cdot}s}$、動粘度 $\nu$ のSI単位は $\mathrm{m^2/s}$ である [4]。レイノルズ数には単位を付けない。

$\mathrm{Re}$ の数値は、どの速度と長さを代表値に選ぶかで変わる。式だけを書かず、$\mathrm{Re}$ の定義と流れの対象を必ずセットで示す。

円管内流では、断面平均速度 $V$ と管の内径 $D$ を用いる $\mathrm{Re}_D=\rho VD/\mu$ が標準的である。円管以外のダクトでは水力直径、物体まわりの流れでは物体径や翼弦長など、現象を支配する長さを選ぶ。

円管内流

$V$：断面平均速度、$L$ = $D$：管内径

円柱・球まわり

$V$：主流速度、$L$：直径

翼まわり

$V$：主流速度、$L$：翼弦長

十分に長い滑らかな円管の内部流れでは、一般に $\mathrm{Re}_D<2300$ を層流、$2300\text{–}4000$付近を遷移域、$\mathrm{Re}_D>4000$ を乱流の目安とする [1]。

この値は自然法則の鋭い境界ではない。入口の乱れ、配管の振動、継手、壁面粗さなどによって遷移位置は変わる。設計では目安の近くを一つの値だけで断定せず、安全側の評価や実測を行う。

20 ℃の水が、内径 $D=0.020\ \mathrm{m}$ の円管を断面平均速度 $V=0.50\ \mathrm{m/s}$ で流れている。密度を $\rho=998\ \mathrm{kg/m^3}$、粘度を $\mu=1.002\times10^{-3}\ \mathrm{Pa{\cdot}s}$ として $\mathrm{Re}_D$ を求め、流れの状態を判定する。

円管なので代表長さには内径 $D$、代表速度には断面平均速度 $V$ を用いる。数値を式 (2) に代入すると $\mathrm{Re}_D\approx9.96\times10^3$ となる。4000を十分に上回るため、この条件の発達した円管内流は乱流と判定する。

密度 $\rho$、断面平均速度 $V$、管内径 $D$、粘度 $\mu$ を入力すると、円管のレイノルズ数と流れの目安を計算できる。初期値には上の例題と同じ20 ℃の水の条件を入れている。

計算結果は円管内流に対する目安である。円管以外の流れでは、対象に合った代表長さと遷移条件を用いる。

幾何学的に相似な模型と実機で $\mathrm{Re}$ を一致させると、慣性と粘性の相対的な強さをそろえられる。これを力学的相似の条件の一つとして、風洞試験や水槽試験の結果を実機へ換算する [3]。

ただし自由表面が重要ならフルード数、高速気体ならマッハ数など、別の無次元数も同時に重要になる。すべてを小型模型で一致させられない場合は、支配的な現象に応じて優先順位を決める。

計算前に、流体物性の温度、代表速度、代表長さを一行で定義すると取り違えを防ぎやすい。

直径と半径を混同

円管では通常、代表長さに内径 $D$ を用いる。

流量をそのままVへ入れる

体積流量 $Q$ は速度ではない。断面平均速度 $V=Q/A$ に直す。

動粘度と粘度を混同

$\mathrm{Re}=VL/\nu$ または $\rho VL$/$\mu$。二つの式を混ぜない。

Reが大きければ粘性ゼロ

壁面の非すべり条件や境界層では、大きな $\mathrm{Re}$ でも粘性が本質的である。

管摩擦係数、圧力損失、抗力係数、熱伝達・物質伝達の相関式、模型実験の条件設定など、多くの実務式は $\mathrm{Re}$ を入力として用いる。

次は層流と乱流を比較し、速度分布・混合・圧力損失がどのように変わるかを学ぶ。

密度、粘度、動粘度の違いを確認してから計算すると理解しやすい。ナビエ–ストークス方程式では、$\mathrm{Re}$ は慣性項と粘性項の比として現れる。

前提知識

密度・圧力・粘度、ナビエ–ストークス方程式

次に学ぶ

層流と乱流、円管内速度分布、管摩擦損失