Euler記述・Lagrange記述Eulerian & Lagrangian descriptions

Euler記述では、密度 ρ(x, t)、圧力 p(x, t)、速度 u(x, t) のように、物理量を空間座標 x と時刻 t の関数として表す。計測点、検査体積、計算格子は空間に固定され、そこを異なる流体粒子が通過する。

配管の固定位置に設置した圧力計や、固定格子上でNavier–Stokes方程式を解く一般的なCFDはEuler記述の例である。

固定するもの

空間位置または検査体積

得意な問題

境界が固定された連続体の場、配管流、外部流、固定格子CFD

初期時刻に粒子をラベル a で識別し、その粒子の現在位置を流れ写像 X(a, t) で表す。ラベル a を固定して時刻を進めれば、一つの粒子の位置、速度、温度などの履歴が得られる。

粒子追跡法、液滴・気泡の運動、自由表面や大変形を伴う問題では、Lagrange的な表現が自然である。ただし粒子分布が著しく変形すると、近傍関係や数値分解能の管理が難しくなる。

固定するもの

流体粒子の同一性または粒子ラベル

得意な問題

粒子履歴、液滴・気泡、界面追跡、粒子法

Euler場 φ(x, t) を、移動粒子 x = X(a, t) に沿って観測する。合成関数 φ(X(a, t), t) を時間微分し、dX/dt = u を用いると物質微分が得られる [1, 2]。

右辺第1項は固定点での局所的な時間変化、第2項は粒子が空間勾配の中を移動することで生じる移流変化である。定常流では ∂φ/∂t = 0 でも、空間的に不均一なら粒子は変化を経験する。

Euler記述とLagrange記述は異なる物理を表すのではなく、同じ運動の座標化が異なる。保存則を固定した検査体積で解くならEuler記述、個々の要素の履歴を求めるならLagrange記述が直接的である。

実務では両者を組み合わせる。例えば連続相の空気をEuler格子で解き、飛散する液滴をLagrange粒子として追跡するEuler–Lagrange法がある。選択基準は、どの量を保存・追跡したいか、境界がどう動くか、計算資源の制約は何かである。