CHAPTER02ARTICLE01

FLUID MECHANICS · 02–01 / 基礎

連続の式Continuity equation

質量が流れの途中で増減しないという原理を、断面流量・検査体積・局所的な方程式として定式化する。

読了目安 12分2026-08-13出典照合済みEN version

要旨

連続の式は、流体の質量が途中で突然増えたり消えたりしないことを表す。定常一次元流れでは質量流量が一定となり、密度が一定なら、断面積が小さいほど平均流速は大きくなる。

02. 30秒で理解

連続の式は「流体が途中で消えない」という法則

太い管から細い管へ水が流れると、細い側では流れが速くなります。同じ時間に通る質量を変えないためです。連続の式は、この関係をあらゆる流れに使える形で表します。

1
観察
出口の断面が小さくなる
2
保存
同じ時間に通る質量は変わらない
3
結果
密度が一定なら、出口の流速が大きくなる

図に出てくる3つの量

$A$ 断面積: 流れに垂直な面の広さ
$V$ 平均流速: 断面を通る速さの平均
$\rho$ 密度: 単位体積あたりの質量

密度が一定の流れ

A_1V_1=A_2V_2

断面積が小さくなった分だけ、平均流速が大きくなります。

03. 原理と数式

流体を囲む任意の検査体積を考えます。質量保存則は「内部の質量の増加率」と「境界から正味で出ていく質量流量」の和がゼロである、と述べます。形や場所をどう選んでも成り立つため、流体解析の出発点になります。

まず使う形：定常・一次元

\\dot{m}=\\rho A V=\\mathrm{const.}

管やノズルの入口と出口を比べるときに使います。断面平均流速には V を用います。

領域全体の収支：積分形

\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}\\int_\\Omega \\rho\\,\\mathrm{d}V+\\oint_{\\partial\\Omega}\\rho\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{n}\\,\\mathrm{d}A=0

検査体積内の質量蓄積率と、境界を通る正味流出質量流量の和はゼロです。

各点で成り立つ一般形：微分形

\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t}+\\nabla\\cdot(\\rho\\mathbf{u})=0

微分形（局所形）。第1項は密度の時間変化、第2項は質量流束の発散を表します。

04. 記号・単位

Symbol	意味	SI unit
$\rho$	密度	$\mathrm{kg\,m^{-3}}$
$t$	時間	$\mathrm{s}$
$\mathbf{u}$	局所速度ベクトル	$\mathrm{m\,s^{-1}}$
$V$	断面平均流速	$\mathrm{m\,s^{-1}}$
$A$	流路断面積	$\mathrm{m^2}$
$\dot{m}$	質量流量	$\mathrm{kg\,s^{-1}}$

05. 導出

検査体積の質量

検査体積内の密度を体積について積分すると、内部の総質量になります。

m_\\Omega=\\int_\\Omega\\rho\\,\\mathrm{d}V

境界を通る流出

密度と速度の法線方向成分を境界全体で積分すると、正味の流出質量流量になります。

\\dot{m}_{\\mathrm{out}}=\\oint_{\\partial\\Omega}\\rho\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{n}\\,\\mathrm{d}A

保存則を適用

質量の蓄積率と正味流出の和をゼロとおきます。

\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}\\int_\\Omega \\rho\\,\\mathrm{d}V+\\oint_{\\partial\\Omega}\\rho\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{n}\\,\\mathrm{d}A=0

局所形を得る

発散定理を適用し、任意の検査体積で成り立つことから局所形が得られます。

\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t}+\\nabla\\cdot(\\rho\\mathbf{u})=0

06. 使用条件

✓ 常に残す考え方

• どんな流体でも質量保存自体は成立

• 圧縮性流れでは密度変化を残す

• 非定常なら蓄積項を残す

! 簡略化の条件

• 体積流量一定は定常・一次元・密度一定の簡略形

• 分岐では各流量の総和で考える

• 平均流速と局所流速を混同しない

07. 例題

水が直径100 mmの管を2.0 m·s⁻¹で流れ、直径50 mmに縮小する。水を非圧縮とすると、縮小後の平均流速は？

D_1=100\,\mathrm{mm}

V_1=2.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}

D_2=50\,\mathrm{mm}

\\rho=\\mathrm{const.}

$A_1V_1=A_2V_2$

V_2=V_1\\frac{A_1}{A_2}=V_1\\left(\\frac{D_1}{D_2}\\right)^2=8.0\\,\\mathrm{m\\,s^{-1}}

08. 計算ツール

連続の式計算ツール

断面1の状態と断面2の密度・面積から、断面2の平均流速を計算します。

断面1の密度

\rho_1

\mathrm{kg\,m^{-3}}

断面1の面積

A_1

\mathrm{m^2}

断面1の平均流速

V_1

\mathrm{m\,s^{-1}}

断面2の密度

\rho_2

\mathrm{kg\,m^{-3}}

断面2の面積

A_2

\mathrm{m^2}

質量流量

\dot{m}

20.000 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$

断面2の平均流速

V_2

5.0000 $\mathrm{m\,s^{-1}}$

09. よくある間違い

体積流量が常に保存される
圧縮性流れでは保存されるのは質量流量です。密度が変われば体積流量は変わります。

断面積が半分なら流速は2倍
円管で直径が半分なら面積は1/4なので、非圧縮なら流速は4倍です。

速度ベクトルの向きを無視
流入・流出の符号は、速度ベクトルと外向き単位法線ベクトルの内積で決まります。

10. 応用・関連知識

ノズル・ディフューザ配管の分岐ポンプ選定風洞圧縮性ノズルCFDの質量収支確認

次は：運動量保存則

流れが物体に及ぼす力を、運動量の変化から求める。

→

出典

検証状況

本文・記号・単位・例題は下記資料と照合しています。計算ツールは例題条件で8.0 m·s⁻¹を再現することを確認済みです。外部の技術者による独立査読は未実施です。

要旨

0202. 30秒で理解

図に出てくる3つの量

0303. 原理と数式

0404. 記号・単位

0505. 導出

0606. 使用条件