圧縮性とマッハ数

30秒で理解

水のような液体では、多くの流れで密度をほぼ一定として扱える。一方、空気などの気体では、流速が高くなると圧力・温度・密度の変化が流れそのものへ強く影響する。この性質を圧縮性という。

圧縮性の重要度を判断する中心的な量がマッハ数 M = V/a である。M が小さい低速流では密度変化が小さい場合が多いが、M が1へ近づくと圧縮性を無視できず、局所的な超音速領域や衝撃波が現れ得る [1,2]。

圧縮性とは何か

圧縮性とは、圧力変化に伴って密度が変化する性質である。気体は液体より一般に圧縮されやすく、高速気流では運動エネルギーと内部エネルギーの変換によって温度・圧力・密度が連成して変化する。

「気体だから常に圧縮性流れとして解く」という意味ではない。密度変化が現象へ与える影響が十分小さければ、気体でも非圧縮近似を使える。逆に、圧力波、ノズル、衝撃波、高速飛翔体などでは密度変化が本質的である。

非圧縮近似: 流れの中で密度変化を無視できるとみなし、ρを一定または既知として扱う。
圧縮性流れ: 密度を圧力・温度などと連成して求める必要がある流れ。

マッハ数：流速と音速を比べる

局所流速 V と局所音速 a の比をマッハ数 M と定義する [1,2]。音速は小さな圧力擾乱が媒質中を伝わる速さであり、M は流れと圧力情報の伝播速度を比較している。

同じ300 m/sでも、温度や気体の種類が変われば音速が変わるため、マッハ数も変わる。高速流を議論するときは速度だけでなく、その場所の音速とセットで考える。

01左から右へ時間が進む。橙色の点は過去の物体位置を表す。02青い円は、各時刻に出た微小な圧力擾乱がその後どこまで広がったかを示す。03超音速では擾乱は下流側の円錐内に制限され、包絡線が Mach cone となる。

式 (1)マッハ数

M=\frac{V}{a}

音速は温度で変わる

熱量的完全気体を仮定すると、音速 a は比熱比 γ、比気体定数 R、絶対温度 T から式 (2) で求められる [1]。空気では通常の温度範囲で γ ≈ 1.4、R ≈ 287 J/(kg·K) を代表値として使うことが多い。

式 (2) から、同じ気体では温度が高いほど音速が大きくなることが分かる。温度には摂氏温度ではなく絶対温度 K を使う。

式 (2)熱量的完全気体の音速

a=\sqrt{\gamma R T}

熱量的完全気体。Tは絶対温度。

記号・単位

マッハ数は無次元量である。流速と音速は同じ単位で比較し、温度は音速式では絶対温度を使う [4]。

圧縮性とマッハ数で用いる記号とSI単位
記号	意味	SI単位
M	マッハ数	—
V	局所流速	m/s
a	局所音速	m/s
ρ	密度	kg/m³
p	静圧	Pa
T	絶対温度	K
γ	比熱比	—
R	比気体定数	J/(kg·K)

亜音速・遷音速・超音速

M < 1 では流れは亜音速、M = 1 は音速条件、M > 1 では超音速である。M が1付近の遷音速域では、物体まわりの一部だけが局所的に超音速となり、衝撃波を伴うことがある [2]。

さらに高いマッハ数では空力加熱や実在気体効果が重要になる。したがって「超音速」という分類だけで必要なモデルが一意に決まるわけではない。

M < 1: 亜音速。圧力擾乱は上流方向にも伝わり得る。
M ≈ 1: 遷音速。局所超音速域と衝撃波が生じやすく、圧縮性の影響が強い。
M > 1: 超音速。流れに対して情報伝播の方向が制限され、衝撃波・膨張波が重要になる。
M > 5: 一般に極超音速と呼ばれ、高温・実在気体効果が重要になり得る [2]。

なぜMが大きいと密度変化が重要になるか

微小な等エントロピー変化を考えると、運動量式と音速の定義から、密度変化と速度変化の関係を式 (3) のように書ける。

式 (3) は、同程度の相対速度変化に対して、相対密度変化の大きさが M² に比例して増えることを示す。したがって低いMでは密度変化が小さくなりやすく、Mが1へ近づくほど非圧縮近似の妥当性を慎重に確認する必要がある。

式 (3)微小変化における密度と速度の関係

\frac{\mathrm d\rho}{\rho}=-M^2\frac{\mathrm dV}{V}

微小・等エントロピー変化を仮定した関係。

例題：20 ℃の空気を250 m/sで流す

20 ℃の空気を熱量的完全気体とみなし、T = 293.15 K、γ = 1.40、R = 287 J/(kg·K) とする。流速 V = 250 m/s のとき、音速とマッハ数を求める。

式 (2) から音速は約343 m/sとなる。続いて式 (1)へ代入すると M ≈ 0.729 を得る。この流れは亜音速だが、Mが十分小さい低速流とはいえず、密度変化を無視する前に圧縮性の影響を評価するべき領域である。

式 (4)20 ℃付近の空気の音速

a=\sqrt{(1.40)(287)(293.15)}\approx343\ \mathrm{m/s}

式 (5)マッハ数

M=\frac{250}{343}\approx0.729

使用条件と適用外

式 (2) は熱量的完全気体の音速式である。高温の極超音速流れでは比熱が温度によって変化し、振動励起・解離・電離などの実在気体効果を考慮する必要がある。

マッハ数は圧縮性を判断する基本量だが、粘性の重要度はReynolds数など別の無次元数で評価する。現象に応じて複数の相似パラメータを組み合わせる。

よくある間違い

マッハ数を計算するときは、流速だけでなく局所温度と気体の性質を確認する。

Mは速度の単位: M = V/a なので無次元量。Mach 0.8に m/s は付けない。
音速は常に340 m/s: 音速は気体の種類と温度に依存する。340 m/sは空気の特定条件に近い代表値。
M < 1なら非圧縮: 亜音速でもMが1へ近づくと圧縮性の影響は大きい。
Tへ20を代入: a = √(γRT) の T は絶対温度。20 ℃なら293.15 Kへ変換する。

応用・関連知識

圧縮性とマッハ数は、航空機、ロケット、ガスタービン、圧縮機、ノズル、高速配管、衝撃波、音響などを扱う入口になる。

前提として密度・圧力・粘度、Euler方程式、Navier–Stokes方程式を確認する。次に圧縮性流れを深めるなら、等エントロピー流れ、全温・全圧、ノズル、衝撃波へ進む。

前提知識: 密度・圧力・粘度、Euler方程式、Navier–Stokes方程式
次に学ぶ: 等エントロピー流れ、全温・全圧、ノズル、衝撃波

参考文献

参照日：2026年8月17日。外部専門家による査読は未実施です。

圧縮性とマッハ数Compressibility and Mach number

要旨