CHAPTER02ARTICLE03

FLUID MECHANICS · 02–03 / 基礎

ベルヌーイの式Bernoulli equation

流線に沿う圧力・速度・高さの関係を、機械的エネルギー保存として定式化する。

読了目安 11分2026-08-13出典照合済みEN version

要旨

ベルヌーイの式は、非粘性・非圧縮・定常流れにおける機械的エネルギー保存を表す。同じ流線上では、圧力、速度、高さの各項が相互に変換され、その総和が一定となる。

02. 30秒で理解

ベルヌーイの式は「流体の機械的エネルギー保存則」

同じ流線上で、圧力によるエネルギー、運動エネルギー、位置エネルギーの和を比較します。たとえば高さが同じ管で流速が増えると、損失のない理想流れでは静圧が下がります。

圧力流体を押すはたらき

\dfrac{p}{\rho}

速さ運動によるエネルギー

\dfrac{V^2}{2}

高さ重力による位置エネルギー

gz

03. 原理と数式

定常・非粘性・非圧縮の流れを、同じ流線上の点1と点2で比較すると、単位質量あたりの機械的エネルギーは次のように表されます。

単位質量あたりのベルヌーイの式

\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\mathrm{const.}

3項はいずれも単位質量あたりのエネルギーで、単位は

\mathrm{J\,kg^{-1}}

、すなわち

\mathrm{m^2\,s^{-2}}

です。

点1と点2を比較する形

\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}+gz_1=\frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^2}{2}+gz_2

点1で持っていたエネルギーが、点2では圧力・速さ・高さの別の組み合わせに変わります。

水頭で表す形

式全体を $g$ で割ると、各項を流体柱の高さとして比較できます。

\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=\mathrm{const.}

左から圧力水頭、速度水頭、位置水頭です。各項の単位は m です。

04. 記号・単位

記号	物理量	SI単位	意味
$p$	静圧	$\mathrm{Pa}$	流体が周囲を押す圧力
$\rho$	密度	$\mathrm{kg\,m^{-3}}$	単位体積あたりの質量
$V$	流速	$\mathrm{m\,s^{-1}}$	流線方向の速度の大きさ
$g$	重力加速度	$\mathrm{m\,s^{-2}}$	標準重力加速度は $9.80665\ \mathrm{m\,s^{-2}}$
$z$	基準面からの高さ	$\mathrm{m}$	位置エネルギーを決める高さ
$q$	動圧	$\mathrm{Pa}$	$q=\frac{1}{2}\rho V^2$

圧力には絶対圧でもゲージ圧でも使用できますが、点1と点2で同じ基準を使います。

05. 導出

粘性を無視した流体要素に、流線方向の運動方程式を適用します。これはオイラーの運動方程式を流線に沿って書いたものです。

流線方向の力のつり合い
圧力勾配と重力が流体要素を加速させます。
$\frac{1}{\rho}\,\mathrm{d}p+V\,\mathrm{d}V+g\,\mathrm{d}z=0$
密度一定として積分
点1から点2まで各項を積分します。
$\int_1^2\frac{\mathrm{d}p}{\rho}+\int_1^2 V\,\mathrm{d}V+\int_1^2 g\,\mathrm{d}z=0$
各項を評価
圧力項、運動項、位置項をまとめるとベルヌーイの式になります。
$\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C$

重要：この導出は、流体の速度を「圧力だけ」が直接決めると言っているのではありません。

境界条件と運動方程式によって流れ場が決まり、その結果として同じ流線上の圧力・速度・高さがこの関係を満たします。

06. 使用条件

✓ 基本形を使える条件

・定常流れ

・非粘性、または損失を無視できる

・密度がほぼ一定

・同じ流線上の二点

・ポンプやタービンによる仕事がない

! そのまま使えない場合

・長い管や細い管で摩擦損失が大きい

・ポンプ、送風機、タービンを含む

・高速気体で密度変化が大きい

・強い非定常流れ

・異なる流線間を比較する回転流れ

実務では損失と機械仕事を加える

配管計算では、ポンプが加える水頭 $h_{\mathrm{p}}$ と損失水頭 $h_{\mathrm{L}}$ を含む機械的エネルギー式を使います。

\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1+h_{\mathrm{p}}=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2+h_{\mathrm{L}}

現実の流れでは、粘性によって機械的エネルギーが熱へ散逸するため、損失水頭は通常0より大きくなります。

07. 例題

水平な縮小管で、下流の圧力を求める

密度 $1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ の水が水平な管を流れています。点1の静圧は $200\ \mathrm{kPa}$ 、平均流速は $2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ です。点2の平均流速が $8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ のとき、損失を無視して点2の静圧を求めます。

\rho=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

p_1=200\ \mathrm{kPa}

V_1=2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}

V_2=8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}

高さの項を消す
水平なので $z_1=z_2$ です。
点2の圧力について整理する $p_2=p_1+\frac{\rho}{2}\left(V_1^2-V_2^2\right)$
数値を代入する $p_2=200000+\frac{1000}{2}\left(2.0^2-8.0^2\right)=170000\ \mathrm{Pa}$

p_2=170\ \mathrm{kPa}

検算：流速が増えた分だけ静圧は 30 kPa 下がります。現実の管では摩擦損失が加わるため、同じ入口条件なら下流圧力はこの理想値よりさらに低くなります。

08. 計算ツール

点1の状態から点2の静圧を計算

定常・非粘性・非圧縮の基本形を使用します。入力する二点の圧力基準と高さの基準面は統一してください。

密度 ρ

\mathrm{kg\,m^{-3}}

点1の静圧 p₁

\mathrm{kPa}

点1の流速 V₁

\mathrm{m\,s^{-1}}

点2の流速 V₂

\mathrm{m\,s^{-1}}

点1の高さ z₁

\mathrm{m}

点2の高さ z₂

\mathrm{m}

点2の静圧 p₂170.000 kPa

静圧低下 p₁ − p₂30.000 kPa

例題の値で 170 kPa になることを確認済みです。摩擦損失、ポンプ仕事、圧縮性は含みません。

09. よくある間違い

速い流れは必ず低圧

同じ流線上で高さ、損失、機械仕事などの条件をそろえた場合の関係です。別々の流れを速度だけで比較することはできません。

連続の式と同じ

連続の式は質量保存、ベルヌーイの式は理想化した機械的エネルギー保存です。縮小管では両方を組み合わせます。

管内なら常に使える

長い配管や細い配管では粘性損失を無視できません。損失水頭を含む式が必要です。

全流線で同じ定数

一般にはベルヌーイ定数は流線ごとに異なります。非回転流れなら流線をまたいで同じ定数として扱えます。

翼の揚力を単独で説明

ベルヌーイの式は翼面の局所的な速度と圧力を関係づけますが、速度分布が生じる理由や全体の循環まで単独では決めません。「上下の空気が同時に後縁へ着く」という説明は誤りです。

10. 応用

ベンチュリ流量計ピトー静圧管ノズルサイフォンタンク流出翼まわりの圧力分布

実務では、連続の式から流速を求め、ベルヌーイの式または損失を含む機械的エネルギー式から圧力や必要ポンプ揚程を求める流れが基本です。

11. 前提知識・関連知識

前提知識

連続の式断面積と流速の関係を決める質量保存則 圧力と密度静圧、絶対圧、ゲージ圧、密度の基礎

次につながる知識

オイラーの運動方程式非粘性流れの運動を局所的に表す 管摩擦と圧力損失現実の配管に粘性損失を加える ナビエ–ストークス方程式粘性を含む流体運動の一般式 ピトー管・ベンチュリ管圧力差から速度や流量を測る

出典

主出典Frank M. White, Fluid Mechanics, 9th ed., McGraw Hill, 2021. ベルヌーイの式、導出、適用条件の照合に使用。
大学資料MIT OpenCourseWare, “Bernoulli Equation, Pitot-Static Tube, Airspeed Measurement, and Pressure Nondimensionalization.” 式の形と計測への応用を照合。
補助資料NASA Glenn Research Center, “Bernoulli’s Equation.” 初学者向け説明、動圧、適用制限を確認。
単位・表記BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th ed., revised 2026. Pa、m、s、kgとSI表記の確認に使用。

編集方針

主出典、独立した大学資料、公的機関資料、SI規格を相互照合しました。外部の流体工学専門家による独立査読は未実施です。

要旨

0202. 30秒で理解

0303. 原理と数式

水頭で表す形

0404. 記号・単位

0505. 導出

0606. 使用条件